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时间复杂度

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算法的时间复杂度的计算

度量算法时间复杂度的两种方法

  1. 事前估计法:通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优.

  2. 事后统计法:这种方法可以用来统计算法的时间复杂度,但是有两个问题:一是要想对设计的算法的运行性能进行评测,需要实际运行该程序;二是所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素, 这种方式,要在同一台计算机的相同状态下运行,才能比较那个算法速度更快,所以在实际中我们并不使用这个方法来统计算法的时间复杂度

理解时间复杂度的前提--->时间频度

一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例,哪个算法中语句执行次数多,它花费时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

比如计算1-100的和,我没有两种计算方式:

  1. 使用for循环进行计算:T=O(n)

​ int total = 0;

​ int end =100;

​ for(int i = 0;i<=100;i++){

​ total+=i;

​ }

  1. 直接计算:T = O(1)total = (1+end)*end/2

这两种计算的算法的时间复杂度就是不一样的

计算时间复杂度的时候可以进行的值

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时间复杂度

一般情况下,算法中的基本操作语句的重复执行次数是问题规模n的某个函数,用T(n)表示,若有某个辅助函数f(n),使得当n趋近于无穷大时,T(n) / f(n) 的极限值为不等于零的常数,则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记作 T(n)=O( f(n) ),称O( f(n) ) 为算法的渐进时间复杂度,简称时间复杂度。

T(n) 不同,但时间复杂度可能相同。 如:T(n)=n²+7n+6 与 T(n)=3n²+2n+2 它们的T(n) 不同,但时间复杂度相同,都为O(n²)。
计算时间复杂度的方法:

用常数1代替运行时间中的所有加法常数 T(n)=n²+7n+6 => T(n)=n²+7n+1
修改后的运行次数函数中,只保留最高阶项 T(n)=n²+7n+1 => T(n) = n²
去除最高阶项的系数 T(n) = n² => T(n) = n² => O(n²)

常见的时间复杂度

  • 对数阶:O(log2n),相当于程序执行了x个2相乘之后=n

  • 常数阶:O(1),不管n是多少都执行那几行代码,代码的行数是相等的

  • 线性阶:O(n),执行n次相关代码,执行代码的多少和n有关系
  • 线性对数阶:O(nlog2n),将对数阶的代码执行n次
  • 平方阶:O(n^2),双层for循环就是平方阶的最好例子
  • 立方阶:O(n^3),三层for循环
  • k次方阶:O(n^k),k次for循环
  • 指数阶:O(2^n),这个还没有搞懂

说明

常见的算法时间复杂度由小到大依次为:Ο(1)<Ο(log2n)<Ο(n)<Ο(nlog2n)<Ο(n2)<Ο(n3)< Ο(nk) <Ο(2n),随着问题规模n的不断增大,上述时间复杂度不断增大,算法的执行效率越低

时间复杂度就是程序执行完相应功能的次数

平均时间复杂度和最坏时间复杂度

  1. 平均时间复杂度:

    平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下,该算法的运行时间。

  2. 最坏时间复杂度:

    最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是:最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限,这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。(我们在讨论时间复杂度的时候基本上都是按照最坏时间复杂度来计算)

平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致,和算法有关(如图:)。

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